Je peux juste témoigner de mon changement de prénom auprès de la caisse ASSURA.
Assura étant particulièrement informatisée et automatisée, il n'y a tout simplement pas de formulaire de contact libre sur leur site. J'ai déniché un formulaire dévolu aux changements de nom de famille et d'état civil (pas M/F, marié, veuf/ve, divorcée, ...).
Il se trouve qu'en accédant à ce formulaire, le champ "prénom" est modifiable. J'ai donc changé mon PrénomF par PrénomM et envoyé le formulaire.
Je m'attendais franchement à un mail interrogateur, mais une semaine plus tard j'ai reçu une lettre de mon assurance à Madame PrénomM contenant ma nouvelle carte d'assuré à mon PrénomM!!!

Donc si vous êtes chez Assura, c'est possible simplement. Si vous êtes chez un autre assureur et qu'il fait de la résistance, n'hésitez pas à lui citer cet exemple, ils n'aiment pas trop les comparaisons et parfois ça rassure tout bêtement votre courtier de savoir que ça se fait.